Fondamenti della meccanica atomica
(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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Si dice che in un punto l'equazione (1') presenta una singolarità fuchsiana (o, come taluni dicono, non essenziale), se per uno almeno dei
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Ed analogamente per la sovrapposizione di quanti si vogliano treni d'onde, vale a dire per una radiazione qualunque.
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Il fondamento concettuale della meccanica quantistica sta nel fatto (rivelato per la prima volta da HEISENBERG) che il principio di indeterminazione
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(1) Da ciò segue che è improprio usare la parola «particella» per designare questi enti che (al pari dei fotoni) hanno soltanto alcune delle
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Si può dunque dire che per le onde di De Broglie un campo di forza rappresenta quello che per la luce è un mezzo ad indice di rifrazione non uniforme
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Per e quindi per
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Si vede di qui che, fissato , il coefficiente di trasmissione varia in modo periodico col variare di l (spessore della barriera): per cos ossia per
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che dà per il coefficiente di trasmissione , e quindi per il numero di elettroni emessi, proprio l'espressione suggerita dai dati sperimentali.
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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Derivando questa relazione ancora K + 1 volte (per il che giova osservare che la nota formula di Leibniz per la derivata n-esima di un prodotto, nel
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cosicchè l'espressione esplicita di in funzione di r è la seguente (dove si è posta per l'espressione (268), per mettere in evidenza la sua
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Sostituendo nella (318) questa espressione di , e la, (329) per p, si ottiene per l'espressione (dipendente solo da n)
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per
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per
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Graficamente, si usa rappresentare i livelli corrispondenti ai termini su diverse colonne, una per la serie s, una per la p, ecc., come si vede nella
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(1) Talvolta un operatore è definito solo per certe determinate classi di funzioni, mentre per altre non ha senso. P. es., l'operatore ha senso per
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Un operatore generico viene indicato con una lettera: noi useremo di regola per questo scopo le lettere gotiche. Per esempio scriveremo F = per
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Analogamente per la differenza di due matrici, e per la somma di quante si vogliono di esse.
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La moltiplicazione di una matrice per una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice per k: anche questo risulta immediatamente
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Ma, per la regola di moltiplicazione, questo non è che l'elemento (m, n) della matrice , ossia, per la (38), : quindi scriveremo
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e moltiplicando scalarmente la prima per , a destra, la seconda per a sinistra e sottraendo membro a membro, si ha
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(1) Per semplicità useremo la stessa lettera per indicare una funzione e il vettore corrispondente nello spazio hilbertiano (anzichè usare per
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(purchè, beninteso, non agiscano forze tra loro): infatti, per la (87"), la è univocamente determinata dai suoi valori per in tutto lo spazio, quindi se
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Valgono dunque, in media, le equazioni di HAMILTON. Per esempio, per un punto in coordinate cartesiane, si ha
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L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
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Per evitare equivoci, basta aggiungere alla designazione della «frequenza» quella dell'unità di misura, che per le frequenze propriamente dette v è
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Si può poi facilmente verificare che le espressioni trovate per gli elementi delle matrici e soddisfano le relazioni (156) e (157) (che abbiamo
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Per trovare i livelli energetici, non resta che da determinare la costante della (162): ciò si fa immediatamente particolarizzando la (157) per j = k
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. Tralasciamo di scrivere queste formule che raramente trovano applicazione, essendo per lo più sufficienti la prima o la seconda approssimazione per
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Per ricavare le , e la seconda approssimazione delle operiamo ora analogamente, moltiplicando la (203) per e integrando: osserviamo però prima che
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Di qui possiamo anzitutto ricavare le a, moltiplicando l'equazione per e integrando: si ottiene allora (poichè è ortogonale a , alle , alle e a tutte
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Moltiplichiamo ora (a destra) la seconda per e la terza per , e sommiamole: si ha
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per
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per
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(1) E precisamente per tutti i valori di N multipli di 4 : tali soluzioni però si possono ricondurre a quella, per N = 4.
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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poichè in tal caso l'equazione si identifica con la (300), che per ipotesi è soddisfatta da : si tratta dunque di dimostrare che per ogni
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e basterà dimostrare questa formula per una S della forma (325), poichè si verifica subito che, se essa vale per due matrici , vale anche per il loro
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(l) Tralasciamo, per semplicità di notazione, di scrivere gli indici della finzione sferica Z: si noti che essi saranno in genere diversi per le
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da cui, moltiplicando la prima per A e la seconda per B e sommando,
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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(2) Si ammette il principio di Pauli per qualunque sistema contenente più elettroni: p. es. la « statistica di Fermi», valida per un gas di elettroni
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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Ciò significa, per il principio generale della meccanica quantistica, che una misura dello spin totale darebbe nel primo caso 0, nel secondo . (Il
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Ma se invece si vuole studiare per quali lunghezze d'onda un dato sistema di piani reticolari dà effettivamente luogo alla riflessione selettiva
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Se l'indice di rifrazione del cristallo per le onde elettroniche fosse 1, la (34) si ridurrebbe alla legge di Bragg, ossia la riflessione regolare si
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Questa formula (che per V piccolo coincide con la (38)) è stata verificata da esperienze eseguite da PONTE su elettroni veloci (fino a 17.250 volt
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Moltiplicando questa per yne la (16) per , e sottraendo, si ha
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Si può esservare che la (15) è ancora soddisfatta se si moltiplica la y per una costante complessa di modulo 1 (cioè per un fattore della forma ): la
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Accademia della crusca
